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MCA-102
M.C.A. I Semester (Two Year Course)
Examination, June 2025
Statistical Mathematics
Note: i) Attempt any five questions.
किन्हीं पाँच प्रश्नों को हल कीजिए।
ii) All questions carry equal marks.
सभी प्रश्नों के समान अंक हैं।
iii) In case of any doubt or dispute the English version question should be treated as final.
किसी भी प्रकार के संदेह अथवा विवाद की स्थिति में अंग्रेजी भाषा के प्रश्न को अंतिम माना जायेगा।
Define Rank of the Matrix. Find the rank of the matrix
[[2, -1, 0], [0, 3, 1]]
मैट्रिक्स की रैंक परिभाषित करें। मैट्रिक्स
[[2, -1, 0], [0, 3, 1]]
की रैंक ज्ञात करें।
Show that the system of equations `x + y + z = 3`, `3x + y - 2z = -2`, `2x + 4y + 7z = 7` is not consistent.
दर्शाइए कि समीकरणों की प्रणाली `x + y + z = 3`, `3x + y - 2z = -2`, `2x + 4y + 7z = 7` संगत नहीं है।
Show that for a square matrix there are infinitely many eigen vectors corresponding to a single eigen value.
दिखाइए कि एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक एकल आइगेन मान के अनुरूप अनंत रूप से कई आइगेन वैक्टर होते हैं।
Find eigen values and eigen vectors of the matrix
A =
[[2, 2], [1, 2]]
मैट्रिक्स
A =
[[2, 2], [1, 2]]
के आइगेन मान और आइगेन वैक्टर ज्ञात करें।
Verify Cayley Hamilton theorem hence find A-1 of
[[2, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 1, 2]]
केली हैमिल्टन प्रमेय को सत्यापित करें, अतः [[2, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 1, 2]] A-1 ज्ञात करें।
Describe Rolle's, Lagrange's Cauchy mean value theorem hence Suppose we know that f(x) is continuous and differentiable on the interval [-7, 0] that f(-7) = -3 and that f'(x) ≤ 2/f(x) ≤ 2. What is the largest possible value for f(0)?
रोले, लैंगरेंज कौशी माध्य मान प्रमेय का वर्णन करें। मान लीजिए कि हम जानते हैं कि f(x) अंतराल [-7, 0] पर निरंतर और अवकलनीय है, कि f(-7) = -3 और f'(x) ≤ 2/f(x) ≤ 2। f(0) के लिए सबसे बड़ा संभावित मान क्या है?
Find the dimension of rectangular box of maximum capacity whose surface area is given when box is open at the top.
अधिकतम धारिता वाले आयताकार बॉक्स का आयाम ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल तब दिया गया है जब बॉक्स ऊपर से खुला हो।
Show that
β(m,n) = Γ(m)Γ(n) / Γ(m+n)
दर्शाइए कि
β(m,n) = Γ(m)Γ(n) / Γ(m+n)
Assume mean height of soldiers to be 68.22 inch with a variance of 10.8 square inch. How many soldiers in a regiment of 1,000 would you expect to be over 6 feet tall, given that the area under the standard normal curve between z = 0 and z = 0.35 is 0.1368 and between z = 0 and z = 1.15 is 0.3746.
मान लें कि सैनिकों की औसत ऊंचाई 68.22 इंच है, जिसमें 10.8 इंच वर्ग का अंतर है। 1,000 की रेजिमेंट में आप कितने सैनिकों की अपेक्षा करेंगे जो 6 फीट से अधिक लंबे होंगे, यह देखते हुए कि z = 0 और z = 0.35 के बीच मानक सामान्य वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल 0.1368 है और z = 0 और z = 1.15 के बीच क्षेत्रफल 0.3746 है।
The following table gives the number of accidents that took place in an industry during various days of the week. Test if accidents are uniformly distributed over the week.
| Day | Mon | Tue | Wed | Thu | Fri | Sat |
|---|---|---|---|---|---|---|
| No. of Accidents | 14 | 18 | 12 | 11 | 15 | 14 |
(Given that χ2 at 5% level of sig. with 5 d.f.=11.09).
निम्न तालिका सप्ताह के विभिन्न दिनों में एक उद्योग में हुई दुर्घटनाओं की संख्या बताती है। जाँच करें कि क्या दुर्घटनाएँ पूरे सप्ताह में समान रूप से वितरित हैं।
(यह देखते हुए कि 5% स्तर पर χ2 5 d.f.=11.09 के साथ)
Six dice are thrown how many times do you expect at least three dice to show a five or six.
छह पासे की 729 बार फेंका गया है, आप कितनी बार उम्मीद करेंगे कि कम से कम तीन पासों पर पाँच या छह आएगा।
If the variance of Poisson distribution is 2 find the probabilities for r = 1, 2, 3, 4 from the recurrence relation of Poisson distribution also find P(r ≥ 4).
यदि पॉइसन वितरण का विचरण 2 है तो पॉइसन वितरण के पुनरावृत्ति संबंध से r = 1, 2, 3, 4 की प्राप्यताओं ज्ञात कीजिए तथा P(r ≥ 4) भी ज्ञात कीजिए।
Show that the area under the Normal curve is unity.
दर्शाइए कि नॉर्मल वक्र के नीचे का क्षेत्र एक है।
The probability density function of the random variable X is
f(x) = (1/θ) * e(-x/θ)
find moment generating function of X.
यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व फंक्शन
f(x) = (1/θ) * e(-x/θ)
है। X का आघूर्ण जनक फंक्शन ज्ञात कीजिए।
Write short notes on :
i) Stacks and queues
निम्नलिखित पर संक्षिप्त नोट्स लिखें।
i) स्टैक और कतारें
Trees
ii) पेड़
Max flow/Min cut concepts
iii) अधिकतम प्रवाह/न्यूनतम कट अवधारणाएँ।
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