Statistical Mathematics - RGPV 2023 Question Paper

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Roll No. .......................

MCA-102

M.C.A. I Semester (Two year course)

Examination, December 2023

Statistical Mathematics

Time : Three Hours Maximum Marks : 70

Note :

i) Attempt any five questions. किन्हीं पाँच प्रश्नों को हल कीजिए।

ii) All questions carry equal marks. सभी प्रश्नों के समान अंक है।

iii) In case of any doubt or dispute the English version question should be treated as final. किसी भी प्रकार के संदेह अथवा विवाद की स्थिति में अंग्रेजी भाषा के प्रश्न को अंतिम माना जायेगा।

1. a)

Find the rank of matrix A by using the row Echelon form.

A =

[ 1  2  3 ]
[ 2  1  4 ]
[ 3  0  5 ]

पंक्ति सोपानक रूप का उपयोग करके मैट्रिक्स A का रैंक ज्ञात करें।

A =

[ 1  2  3 ]
[ 2  1  4 ]
[ 3  0  5 ]

Show that the equations x+y=5, 2x+y=8, 2x+y=8 are consistent and solve them.

दिखाएँ कि समीकरण x+y=5, 2x+y=8 संगत हैं और उन्हें हल करें।

2. a)

Evaluate:

∫₀¹ x² (1+x⁴) / (1+x)¹⁰ dx

मान ज्ञात कीजिए।

∫₀¹ x² (1+x⁴) / (1+x)¹⁰ dx

Find the points where the function x³ + y³ - 3axy has maximum or minimum value.

उन बिंदुओं को खोजें जहाँ फलन x³ + y³ - 3axy का अधिकतम या न्यूनतम मान है।

3. a)

What is the difference between F and t-tests?

F टेस्ट और t-टेस्ट में क्या अंतर है?

ii)

What are the Characteristics of F Distribution?

F वितरण के लक्षण क्या हैं?

Perform an F Test for the following samples.

Sample 1: with variance equal to 109.63 and sample size equal to 41.

नमूना 1: 109.63 के बराबर भिन्नता और 41 के बराबर नमूना आकार के साथ।

ii)

Sample 2: with variance equal to 65.99 and sample size equal to 21.

नमूना 2: 65.99 के बराबर भिन्नता और 21 के बराबर नमूना आकार के साथ।

4. a)

A pair of fair dice, one with four sides with six, are rolled and the total summed. Find the probability that the sum equals 7.

निष्पक्ष पासा का एक जोड़ा, एक चार भुजाओं वाला और दूसरा छह भुजाओं वाला, रोल किया जाता है और कुल जोड़ लिया जाता है। योग 7 के बराबर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

A lottery game has the following rules: balls numbered 1,...,20 are placed in an urn. You choose four numbers, two odd and two even. At least one of your even and odd numbers must be chosen for you to win. If six balls are chosen, with all balls equally likely, what is your probability of success?

लॉटरी के खेल में निम्नलिखित नियम होते हैं: गेंदों की संख्या 1,..., 20 कलश में रखी जाती है। आप चार अंक चुनते हैं, दो विषम और दो सम। आपके जीतने के लिए कम से कम एक सम और विषम संख्या का चयन किया जाना चाहिए। यदि छह गेंदों को चुना जाता है, जिसमें सभी गेंदों की समान संभावना होती है, तो आपकी सफलता की संभावना क्या है?

5. a)

Show that [(p∨q)∧(r∨¬q)→(p∨r)] is a tautology by making a truth table, and then again by using an argument that considers the two cases “q is true” and “q is false”.

दिखाएँ कि [(p∨q)∧(r∨¬q)→(p∨r)] एक सत्य तालिका बनाकर एक पुनरावृत्ति है, और फिर एक तर्क का उपयोग करके जो दो मामलों पर विचार करता है "q सत्य है" और "q असत्�� है"।

Show that (p→q) ↔ (q→p) is neither a tautology nor a contradiction. What does this tell you about the possible relationships between the truth values of a statement and its converse?

दिखाओ कि (p→q) ↔ (q→p) न तो एक पुनरावृत्ति है और न ही एक विरोधाभास है। यह आपको एक कथन के सत्य मानों और इसके विलोम के बीच संभावित संबंधों के बारे में क्या बताता है?

ii)

Suppose ¬[(p→q) ↔ (q→p)] is false. Can p ↔ q have both possible truth values?

मान लीजिए ¬[(p→q) ↔ (q→p)] असत्य है। क्या p ↔ q के दोनों संभावित सत्य मान हो सकते हैं?

6. a)

A number is selected randomly from the digits 11 through 19. Consider the events

A = {11, 14, 16, 18, 19}

B = {12, 14, 18, 19}

C = {13, 15, 18, 19}.

Find:

P(A/B)

ii)

P(A/C)

iii)

P(B/C)

iv)

P(B/A)

अंक 11 से 19 तक यादृच्छिक रूप से एक संख्या का चयन किया जाता है। घटनाओं पर विचार करें:

A = {11, 14, 16, 18, 19}

B = {12, 14, 18, 19}

C = {13, 15, 18, 19}.

मान ज्ञात कीजिए:

P(A/B)

ii)

P(A/C)

iii)

P(B/C)

iv)

P(B/A)

7. a)

A radioactive source emits 4 particles on average during a five-second period.

Calculate the probability that it emits 3 particles during a 5-second period.

ii)

Calculate the probability that it emits at least one particle during a 5-second period.

iii)

During a ten-second period, what is the probability that 6 particles are emitted?

एक रेडियोधर्मी स्रोत पांच सेकंड की अवधि के दौरान औसतन 4 कण उत्सर्जित करता है।

संभावना की गणना करें कि यह 5-सेकंड की अवधि के दौरान 3 कणों का उत्सर्जन करता है।

ii)

संभावना की गणना करें कि यह 5-सेकंड की अवधि के दौरान कम से कम एक कण का उत्सर्जन करता है।

iii)

दस सेकंड की अवधि के दौरान, 6 कणों के उत्सर्जित होने की क्या प्रायिकता है?

Prove that:

∫₀^π/2 cos²(x) dx = π/4

सिद्ध कीजिए:

∫₀^π/2 cos²(x) dx = π/4

8. a)

Let A be any finite set and P(A) be the power set of A. ⊆ be the inclusion relation on the elements of P(A). Draw the Hasse diagrams of (P(A), ⊆) for

A = {a}

ii)

A = {a,b}

iii)

A = {a,b,c}

iv)

A = {a,b,c,d}

मान लीजिए A कोई परिमित समुच्चय है और P(A), A का घात समुच्चय है। ⊆ P(A) के तत्वों पर समावेशन संबंध है। (P(A), ⊆) के लिए हैस आरेख बनाएँ।

A = {a}

ii)

A = {a,b}

iii)

A = {a,b,c}

iv)

A = {a,b,c,d}

Describe set of rooted trees recursively?

पृष्ठवर्ती रूप से जड़ वाले वृक्षों के समुच्चय का वर्णन करें।