Introduction To Linear Algebra

a) Define subspace of a vector space. Show that the quotient space of finitely generated space is finitely generated.

सदिश समष्टि के उपसमष्टि को परिभाषित करें। दर्शाएं कि परिमित रूप से जनित समष्टि का भागफल समष्टि परिमित रूप से जनित होता है|

b) State and prove Rank nullity theorem.

रैंक शून्यता प्रमेय बताइए और सिद्ध करें।

a) Let f be linear functional on R³. Show that ∃v ∈ R³ such that f(v) = 0.

मान लीजिए, R³ पर रैखिक फलनलक् है। दर्शाईए कि ∃v ∈ R³ जिससे f(v) = 0 |

b) Define characteristic polynomials. Show that all eigen values of A*A are real and it is unitary similar to diagonal matrix.

अभिलाक्षणिक बहुपद को परिभाषित करें। दर्शाए कि A*A के सभी आइगेन मान वास्तविक हैं तथा यह विकर्ण आव्यूह के समा��� एकलक है|

a) State and prove Cayley Hamilton theorem.

केली हैमिल्टन प्रमेय को बताइ्र और सिद्ध करें।

b) Let T be a linear transformation on a vector space V of dimension n. Suppose that T has distinct eigen values. Then show that T is diagonalizable.

मान लीजिए कि T, n आयाम वाले सदिश समष्टि V पर एक रैखिक परिवर्तन है। मान लीजिए क��� T के अलग-अलग आइगेन मान है। फिर दिखाएँ कि T विकर्णिय है|

a) Define adjoint of Linear Transformation. The linear transformation T:R³ → R⁴ defined by T(x,y,z) = (x - 2y + z, 2x + y + 2z, 3x - y + z) then show that T is a linear transformation.

रैखिक परिवर्तन के सहयक को परिभाषित करें। रैखिक परिवर्तन T:R³ → R⁴ को T(x, y, z) = (x - 2y + z, 2x + y + 2z, 3x - y + z) द्वारा परिभाषित किया जाता है, फिर दिखाएं कि T एक रैखिक परिवर्तन है।

b) Let W be a subspace of finite dimensional inner product space V and x ∈ V such that <x, y> = 0 for all y ∈ W. Then show that x ∈ W^⊥.

मान लीजिए W परिमित आयामी आंतरिक गुणन समष्टि V और x ∈ V का एक उपसमष्टि है जिससे कि <x, y> = 0 सभी y ∈ W के लिए है। तो दर्शाईए कि x ∈ W^⊥.

a) Show that there is no proper open subspace of an inner product space.

दर्श��ए कि आंतरिक गुणन स्थान का कोई उचित खुला उप-स्थान नहीं है।

b) Define Canonical form of linear transformation. Show that every m × n matrix is equivalent to unique matrix in one of canonical form.

रैखिक परिवर्तन के विहित रूप को परिभाषित करें। दिखाएँ कि प्रत्येक m × n मैट्रिक्स विहित रूप में अद्वितीय मैट्रिक्स के बराबर है।

a) Show that all eigen values of hermitian matrix are all real.

दर्शाईए कि हर्मिटियन मैट्रिक्स के सभी आइगेन मान वास्तविक है।

b) Define Jordan canonical form. Reduce the matrix

into Jordan canonical forms.

जॉर्डन कैनोनिकल फॉर्म को परिभाषित करें। मैट्रिक्स को

जॉर्डन कैनोनिकल फॉर्म में कम करें।

a) Show that a bilinear form on V is a product of linear functional iff it is of rank 1.

दर्शाए कि V पर द्विरैखीय रूप रैखिक कार्यात्मक का गुणनफल है यदि और केवल यदि यह रैंक 1 का हो।

Write short notes on

1. Symmetric bilinear forms
2. Group preserving bilinear forms
3. Inner product space

संक्षिप्त टिप्पणियाँ लिखें।

1. सममित द्विरैखीय रूप
2. समूह परिरक्षण द्विरैखीय रूप
3. आंतरिक उत्पाद स्थान

b) State and prove Gram Schmidt orthogonalization process.

ग्राम श्मिट ओर्थोगोनलाइजेशन प्रक्रिया बताइए और साबित करें।