Introduction To Linear Algebra

Let U₁, U₂ and U₃ be subspaces of a vector space V. Prove that मान लीजिए U₁, U₂ और U₃ एक सदिश समष्टि V के उपसमष्टि हैं। सिद्ध कीजिए कि

Let V be a vector space. Show that dim(V) = n ≥ 1 if and only if there exist one-dimensional subspaces U₁, U₂, ..., U_n such that V = U₁ ⊕ U₂ ⊕ ... ⊕ U_n.

Let V be a vector space over a field F and T : V → V be a linear transformation. Define the annihilator of a subspace W of V as Where V* is the dual space of V. Prove that W⁰ is a subspace of V* and determine its dimension in terms of the dimension of V and W. मान लीजिए कि V एक क्षेत्र F पर एक सदिश समष्टि है और T : V → V एक रैखिक प���िवर्तन है। V के उप-समष्टि W के समुपच्छेदक को इस प्रकार परिभाषित करें जहाँ V* , V का द्वैत समष्टि है। सिद्ध करें कि W⁰ , V* का उप-समष्टि है और इसके आयाम को V और W के आयामों के संदर्भ में निर्धारित कीजिए।

Let A be the 4 × 4 real matrix Show that the characteristic polynomial for A is x²(x-1)² and that is also the minimal polynomial.

Let W be an invariant subspace for linear operator T. Prove that the minimal polynomial for the restriction operator T_W divides the minimal polynomial for T, without referring to matrices. मान लीजिए W, रैखिक ऑपरेटर T के लिए एक अपरिवर्तनीय उपस्थान है। सिद्ध कीजिए कि प्रतिबंध ऑपरेटर T_W के लिए न्यूनतम बहुपद, मैट्रिक्स का संदर्भ लिए बिना, T के लिए न्यूनतम बहुपद क�� विभाजित करता है।

For the matrix A: Verify Cayley-Hamilton theorem by finding its characteristic polynomial and substituting the matrix into it. केली-हैमिल्टन प्रमेय का सत्यापन इसके अभिलाक्षणिक बहुपद को ज्ञात करके तथा इसमें मैट्रिक्स प्रतिस्थापित करके करें।

Consider the matrix A: Find the Jordan canonical form of the matrix A and the corresponding Jordan basis. मैट्रिक्स A पर विचार करें मैट्रिक्स A का जॉर्डन कैनोनिकल फॉर्म और संगत जॉर्डन आधार ज्ञात करें।

Let V be an inner product space, and let α and β be vectors in V. Show that α = β if and only if (α | γ) = (β | γ) for every γ in V. मान लें कि V एक आंतरिक गुणनफल स्थान (inner product space) है, और α और β V में सदिश (vectors) हैं। यह सिद्ध करें कि α = β तब और केवल तब होता है जब V में हर γ के लिए (α | γ) = (β | γ) हो।

Consider a matrix A given by:

Given that the set {(1, 0, 0), (0, 2, 1), (2, 0, 1)} is a basis of R³. If T: R³ → R³ is a linear transformation such that T(1, 0, 0) = (0, 0, 1), T(0, 2, 1) = (1, 2, 0) and T(2, 0, 1) = (1, 1, 1). Find T(2, -3, 4). दिया गया है कि सेट {(1, 0, 0), (0, 2, 1), (2, 0, 1)} R³ का आधार है। यदि T: R³ → R³ एक रैखिक परिवर्तन है जैसे कि T(1, 0, 0) = (0, 0, 1), T(0, 2, 1) = (1, 2, 0) और T(2, 0, 1) = (1, 1, 1)। T(2, -3, 4) ज्ञात कीजिए।

If V is the space of all polynomials of degree less than or equal to n over a field F, prove that the differentiation operator on V is nilpotent. यदि V एक क्षेत्र F पर डिग्री n से कम या उसके बराबर सभी बहुपदों का स्थान है, तो सिद्ध करें कि V पर विभेदन ऑपरेटर शून्यकारक है।

Let A, B ∈ O(n), the orthogonal group of real n × n matrices. Define the bilinear form: Verify if B preserves the group structure of O(n). मान लें A, B ∈ O(n), वास्तविक n × n मैट्रिक्स के ऑर्थोगोनल समूह हैं। द्विरैखिक रूप को निम्नलिखित रूप से परिभाषित करें। सत्यापित करें क�� क्या B, O(n) की समूह संरचना को संरक्षित करता है।

Write a detail note on skew symmetric bilinear forms. तिरछा सममित द्विरैखिक रूपों पर एक विस्तृत नोट लिखें।

Write short note on any two: (7+7=14) किन्हीं दो पर संक्षिप्त टिप्पणी लिखिए:

1. Cayley-Hamilton theorem केली-हैमिल्टन प्रमेय
2. Primary decomposition theorem प्राथमिक अपघटन प्रमेय
3. Invariant subspaces अपरिवर्तनीय उपस्थान