Introduction To Linear Algebra

a) Suppose V is finite dimensional and U is subspace of V. Show that U = V if and only if Uᴾ = {0}. (7)

मान लीजिए कि V परिमित आयामी है और U, V का एक समष्ट है। दिखार्व कि U = V केवल सभी जब Uᴾ = {0} हो।

b) Show that the mapping T: V₃ (R) → V₂ (R) defined as T(a₁, a₂, a₃) = (3a₁ - 2a₂ + a₃, a₁ - 3a₂ - 2a₃) is a linear transformation from V₃ (R) into V₂ (R). (7)

दिखाइए कि मैपिंग T: V₃ (R) → V₂ (R) के रूप में परिभाषित T(a₁, a₂, a₃) = (3a₁ - 2a₂ + a₃, a₁ - 3a₂ - 2a₃) V₃ (R) से V₂ (R) में एक रैखिक परिवर्तन है।

a) Suppose V is finite dimensional and U is a subspace of V. Then prove that dim (V/U) = dimV - dimU. (7)

मान लीजिए कि V परिमित आयामी है और, U, V का एक समष्ट है।

फिर साबित करें कि dim (V/U) = dimV - dimU

b) Write short note on : (7)

निम्नलिखित टिप्पणी लिखिए

a) Let a, b, c be elements of a field F, and let A be the following 3 × 3 matrix over F, A = prove that the characteristic polynomial for A is x³ - ax² - bx - c and that it is also the minimal polynomial for A. (7)

मान लीजिए कि a, b, c एक क्षेत्र F के तत्व हैं, और A को F पर

निम्नलिखित 3 × 3 मैट्रिक्स होने दें, A = साबित करें कि A के लिए विशिष्ट बहुपद x³ - ax² - bx - c है और यह A के लिए न्यूनत�� बहुपद भी है।

b) Let A be an n × n triangular matrix over the field F. Prove that characteristic values of A are the diagonal entries of A. (i.e., the scalars Aᵢᵢ). (7)

मान लीजिए कि A क्षेत्र F के ऊपर एक n × n त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। साबित करें कि A के विशिष्ट मान A की विकर्ण प्रविष्ट��याँ हैं (यानी, स्केलर Aᵢᵢ)।

Diagonalize the following matrices (14)

निम्नलिखित मैट्रिक्स को विकर्णित करें

a) Show that V₂ (R) is an inner product space defined by <α, β> = 3a₁b₁ + 2a₂b₂ where α=(a₁, a₂), β=(b₁, b₂) ∈ V₂ (R) (7)

दिखाएँ कि V₂ (R) एक आंतरिक उत्पाद स्थान है जिसे <α, β> = 3a₁b₁ + 2a₂b₂ जहाँ α=(a₁, a₂), β=(b₁, b₂) ∈ V₂ (R) द्वारा परिभाषित किया गया है।

b) Explain Jordan blocks with suitable examples. (7)

जॉर्डन ब्लॉक को उपयुक्त उदाहरण के साथ समझाइए।

Show that "Two nilpotent linear transformations are similar if and only if they have same invariants". (14)

दिखाइए कि दो निलपोटेंट रैखिक परिवर्तन समान हैं यदि और केवल तभी जब उनके पास समान अपरिवर्तनीय हैं।

a) Find a basis for the space of all skew-symmetric linear forms on Rⁿ. (7)

Rⁿ पर सभी तिरछे-सममित रैखिक रूपों के स्थान के लिए आधार ज्ञात कीजिए।

b) Find all bilinear forms on the space of n × 1 matrices over C which are invariant under O(n, C). (7)

C के ऊपर n × 1 मैट्रिसेस के स्थान पर सभी द्विरैकीय रूपों का पता लगाएँ जो O(n, C) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं।

Write short note on following (any two): (14)

निम्नलिखित पर संक्षिप्त टिप्पणी लिखें (कोई दो):