Introduction To Linear Algebra

Course: B.Tech Code: 401 Branch: CY Date: December 2024

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Total No. of Questions : [8]
Roll No : .................................
Total No. of Printed Pages : [6]
CY-401 (GS)
B.Tech., IV Semester
Examination, December 2024
Grading System (GS)
Introduction to Linear Algebra
Time: Three Hours
Maximum Marks : 70
Note:
  1. Answer any five questions.
    किसी पाँच प्रश्नों को हल कीजिए।
  2. All questions carry equal marks.
    सभी प्रश्नों के समान अंक हैं।
  3. In case of any doubt or dispute the English version question should be treated as final.
    किसी भी प्रकार के संदेह अथवा वि���ाद की स्थिति में अंग्रेजी भाषा के प्रश्न को अंतिम माना जायेगा।
1.
a) Prove: Let V be a vector space and W be a subspace of V. Then the map η: V &to; V/W defined by η(x) = x + W, x ∈ V, is a linear transformation. 7
सिद्ध करें: मान लो कि V एक सदिश समष्टि है और W, V का उपसमष्टि है। तब मानचित्रण η: V &to; V/W जो η(x) = x + W, x ∈ V द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक परिवर्तन है।
b) Prove that, if V0 is a subspace of a vector space V, then there exists a subspace V1 of V such that V = V0 + V1 and V0 ∩ V1 = {0}. 7
सिद्ध कीजिए कि, यदि V0 एक सदिश समष्टि V का उपसमष्टि है, तो V का एक उपसमष्टि V1 विद्यमान है जैसे कि V = V0 + V1 तथा V0 ∩ V1 = {0}
2.
a) Find two linear operators T and U on R² such that TU = 0 but UT ≠ 0. 7
R² प�� दो रैखिक ऑपरेटर T और U ज्ञात कीजिए जिससे TU = 0 परंतु UT ≠ 0 हो।
b) Find the characteristic polynomial and the minimal polynomial for the matrix: 7
$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$
मैट्रिक्स के लिए विशेषता बहुपद और -न्यूनतम बहुपद खोजें।
$$B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$
3.
a) If T be the linear operator on R³ which is represented in the standard basis by the matrix 7
$$A = \begin{bmatrix} 5 & 6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 \end{bmatrix}$$
Prove that T is diagonalizable. Find the diagonalizable matrix P that P A P&supquo;¹ is diagonal. 7
यदि T, R³ पर एक रैखिक ऑपरेटर है जिसे मानक बेसिस द्वारा एक मैट्रिक्स द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है,
$$A = \begin{bmatrix} 5 & 6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 \end{bmatrix}$$
तो सिद्ध कीजिए कि T डायगोनलाइजेबल है। डायगोनलाइजेबल मैट्रिक्स P को खोजें जिसके लिए P A P&supquo;¹ डायगोनल हो।
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Contd...
4.
a) Given a 2×2 matrix:
$$B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$
Use the Cayley-Hamilton theorem to calculate B² – 9B + 14 and verify that it results in the zero matrix. 7
2×2 मैट्रिक्स दिया गया है:
$$B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$
B² – 9B + 14 की गणना करने के लिए केली-हैमिल्टन प्रमेय का उपयोग करें और सत्यापित करें ��ि इसका परिणाम शून्य मैट्रिक्स है।
b) Let D be a symmetric matrix given by:
$$D = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}$$
Find the eigenvalues and eigenvectors of D. 7
मान लीजिए D एक सममित मैट्रिक्स है जो दिया गया है:
$$D = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}$$
D के आइगेनवेल्यू और इनवेक्टर्स का पता लगाइए।
5.
a) Consider the matrix A given by: 7
$$A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$
i) Find the Jordan canonical form of the matrix A. ii) Determine the corresponding Jordan basis.
मैट्रिक्स A पर विचार करने जो निम्न प्रकार दिया गया है:
$$A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$
i) मैट्रिक्स A का जॉर्डन कैनोनिकल रूप ज्ञात करें।
ii) संबंधित जॉर्डन आधार निर्धारित करें।
b) Show that the set of all continuous functions on the interval [0, 1] equipped with the inner product
$$\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x)g(x)dx$$
forms an inner product space. Justify that this definition meets the properties of an inner product. 7
दर्शाइए कि अंतराल [0, 1] पर सभी सतत फलनों का समुच्चय, जो
$$\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x)g(x)dx$$
आन्तरिक गुणनफल (f,g) = ∫0 1 f(x)g(x)dx से सुसज्जित है, एक आन्तरिक गुणनफल समष्टि बनाता है। स्पष्ट करें कि यह परिभाषा आन्तरिक गुणनफल के गुणों को किस प्रकार पूरा करती है।
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6.
a) Let V be the space of n × n matrices over a field F, and let A be a fixed n × n matrix over F. Define a linear operator T on V by T(B) = AB – BA. Prove that if A is a nilpotent matrix, then T is a nilpotent operator. 7
मान लीजिए कि V, क्षेत्र F पर n × n आयामी मैट्रिक्सों का एक स्पेस है, और A को F पर एक निश्चित n × n मैट्रिक्स मान लें। T(B) = AB – BA द्वारा V पर एक रैखिक ऑपरेटर T परिभाषित करें। सिद्ध करें कि यदि A एक निलपोटेंट मैट्रिक्स है, तो T एक निलपोटेंट ���परेटर है।
b) Let C be a 5 × 5 matrix with characteristic polynomial (t – 1)² (t – 2)³. Determine the possible Jordan canonical forms of C. 7
मान लीजिए C एक 5 × 5 मैट्रिक्स है जिसमें विशेषता बहुपद (t – 1)² (t – 2)³ है। C के संभावित जॉर्डन विहित रूपों का निर्धारण करें।
7.
a) Let T: C³ &to; C³ be a linear transformation with the matrix representation:
$$A = \begin{bmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & 4 & -3i \\ 0 & 3i & 1 \end{bmatrix}$$
Determine whether T is Hermitian. 7
मान लीजिए T: C³ &to; C³ मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के साथ एक रैखिक परिवर्तन है।
$$A = \begin{bmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & 4 & -3i \\ 0 & 3i & 1 \end{bmatrix}$$
निर्धारित करें कि T हर्मिटियन है।
b) Suppose T: C² &to; C² is a linear transformation with the matrix representation:
$$A = \begin{bmatrix} i/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} \\ i/\sqrt{2} & i/\sqrt{2} \end{bmatrix}$$
Determine whether T is unitary or not. 7
मान लीजिए T: C² &to; C² मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के साथ एक रैखिक परिवर्तन है।
$$A = \begin{bmatrix} i/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} \\ i/\sqrt{2} & i/\sqrt{2} \end{bmatrix}$$
निर्धारित करें कि T एकात्मक है या नहीं।
8.
Write short note on any two: 7+7=14 a) Direct sum decompositions b) Unitary and normal linear transformation c) Annihilator of a subspace
किन्हीं दो पर संक्षिप्त टिप्पणी लिखिए।
अ) प्रत्यक्ष योग अपघटन
ब) एकात्मक और सामान्य रैखिक परिवर्तन
स) एक उपस्थान का समुच्छेदक
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