Mathematics-I

Course: B.Tech Code: 102 Branch: COMMON Date: December 2024

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Total No. of Questions: 8
Total No. of Printed Pages: 4
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Roll No.
BT-102 (GS)
B.Tech., I & II Semester
Examination, December 2024
Grading System (GS)
Mathematics-I
Time: Three Hours
Maximum Marks: 70
Note: i) Attempt any five questions.
किन्हीं पाँच प्रश्नों को हल कीजिए।
ii) All questions carry equal marks.
सभी प्रश्नों के समान अंक हैं।
iii) In case of any doubt or dispute the English version question should be treated as final.
किसी भी प्रकार के संदेह अथवा विवाद की स्थिति में अंग्रेजी भाषा के प्रश्न को अंतिम माना जायेगा।
1.

a) Find the points where the function x³+y³-3axy has maximum or minimum value.

उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जहाँ फलन x³+y³-3axy का अधिकतम या न्यूनतम मान है।

b) Find the Taylor's expansion of y = sinx about point x = π/2.

बिंदु x = π/2 के परितः y = sinx का टैंलर का विस्तार ज्ञात कीजिए।
2.

a) The part of the parabola y²=4ax cut off by the latus rectum revolves about the tangent at the vertex. Find the volume of the reel thus generated.

परवलय y²=4ax का भाग, जो नाभिलंब द्वारा काटा जाता है, शीर्ष पर स्पर्शरेखा के चारों ओर घूमता है। इस प्रकार उत्पन्न रील का आयतन ज्ञात कीजिए।

b) Prove that:

सिद्ध कीजिए।
$$\int_{0}^{1}(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{\Gamma(1/4)}{6\sqrt{2\pi}}$$
3.

a) Show that the following series is Convergent.

दिखाई कि निम्नलिखित श्रृंखला अभिसारी है।
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{4^{3}}+\dots+\frac{1}{4^{n}}+\dots$$

b) Obtain Half Range Sine Series for f(x)=ex in 0 < x < 1.

0 < x < 1 में f(x)=ex के लिए अर्ध-श्रेणी कूरियर Sine श्रृंखला ज्ञात कीजिए।
4.

a) Show that the set w = {(a, b, 0) : a, b ∈ R} is subspace of R³.

दिखाई कि समुच्चय w = {(a, b, 0) : a, b ∈ R} R³ का उपसमष्टि है।

b) Are the following vectors LD? If so express one of these as a LC of other two.

क्या निम्नलिखित सदिश LD है? यदि ऐसा तो इनमें से एक को अन्य दो के LC के रूप में व्यक्त करें।

X₁= (1, 3, 4, 2) X₂= (3, -5, 2, 2) X₃= (2, -1, 3, 2)

5.

a) Find a similarity transformation that diagonalise the matrix.

एक समानता परिवर्तन जो मैट्रिक्स को विकर्णित करता है।
$$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$

b) Find the Eigen value and corresponding Eigen Vectors of the following Matrix.

निम्नलिखित मैट्रिक्स के Eigen मान और संगत Eigen वेक्टर खोजो।
$$\begin{bmatrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$$
6.

a) Define Beta and Gamma Function and show that relation

बीटा और गामा फलन को परिभाषित करें और उस संबंध को दिखाइए।
$$B(m,n)=\frac{\Gamma m \Gamma n}{\Gamma(m+n)}$$

b) Evaluate:

ज्ञात कीजिए।

i)

$$\int_{0}^{a}x^{4}(1-x)^{3}dx$$

ii)

$$\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1-x}{x}}dx$$
7.

a) Prove that a surface area of the solid generated by the revolution of the ellipse x²/a²+y²/b²=1 about the major axis is

सिद्ध कीजिए कि दीर्घवृत्त x²/a²+y²/b²=1 की दीर्घ अक्ष की परिक्रमण से उत्पन्न ठोस का सतह क्षेत्र है:
$$2(\pi ab)\sqrt{(1-e^{2})}\frac{\sin^{-1}e}{e}$$

b) Show that the sequence (n1/n) converge to 1.

दिखाई कि अनुक्रम (n1/n), 1 में अभिसरित होता है।
8.

a) Prove that a rectangular solid of maximum volume within a sphere is a cube.

सिद्ध कीजिए कि एक गोले के भीतर अधिकतम आयतन वाला आयताकार ठोस एक घन है।

b) Verify Rolle's Theorem for the function y=x²+2, a=-2 and b=2.

फलन y=x²+2, a=-2 और b=2 के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित करें।
BT-102 (GS)
PTO