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Total No. of Questions: 8
Total No. of Printed Pages: 6
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Roll No .....................................
BT-102 (GS)
B.Tech. I & II Semester
Examination, June 2025
Grading System (GS)
Mathematics-I
Time: Three Hours
Maximum Marks: 70
Note: i) Attempt any five questions.
किन्हीं पाँच प्रश्नों को हल कीजिए।
ii) All questions carry equal marks.
सभी प्रश्नों के समान अंक हैं।
iii) In case of any doubt or dispute the English version question should be treated as final.
किसी भी प्रकार के संदेह अथवा विवाद की स्थिति में अंग्रेजी भाषा के प्रश्न को अंतिम माना जायेगा।
1.
a) Prove that a rectangular solid of maximum volume within a sphere is a cube.
सिद्ध कीजिए कि एक गोले के भीतर अधिकतम आयतन वाला आयताकार ठोस एक घन है।
b) If u = tan-1 (x3 + y3)⁄(x - y) then prove that x ∂u⁄∂x + y ∂u⁄∂y = sin 2u.
यदि u = tan-1 (x3 + y3)⁄(x - y) सिद्ध कीजिए x ∂u⁄∂x + y ∂u⁄∂y = sin 2u
2.
a) Show that the surface area of solid generated by revolution of the loop of curve x = t2, y = t - t3⁄3 about the x-axis is 3π.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = t2, y = t - t3⁄3 के लूप को x-अक्ष के सापेक्ष घूर्णन कराने से बनने वाले ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल 3π होता है।
b) Change the order of integration in the following integral and then evaluate ∫02 ∫0log y dx dy.
निम्न द्विघात समाकलन का क्रम बदलकर उसका मान ज्ञात कीजिए।
∫02 ∫0log y dx dy
3.
a) Find the Fourier Series for f(x) = x + x2 in (-π, π).
f(x) = x + x2 का फूरियर श्रृंखला ज्ञात कीजिए।
b) Find the half range sine series for f(x) = x(π-x) in (0,π). Hence Deduce that π3⁄32 = 1⁄13 - 1⁄33 + 1⁄53 - ....
f(x) = x(π-x) के लिए अर्ध-श्रेणी Sine श्रृंखला ज्ञात कीजिए। तथा निष्कर्ष निकालें कि π3⁄32 = 1⁄13 - 1⁄33 + 1⁄53 - ....
4.
a) Let W1 and W2 be subspaces of a vector space V and assume that W1 ∩ W2 = {0}. Let w1 ∈ W1 and w2 ∈ W2 be such that w1 ≠ 0 and w2 ≠ 0. Prove that {w1, w2} is linearly independent.
मान लीजिए W1 और W2 एक सदिश समष्टि V के उपसमष्टि हैं कि W1 ∩ W2 = {0} हैं। मान लीजिए w1 ∈ W1 और w2 ∈ W2 ऐसे हैं कि w1 ≠ 0 और w2 ≠ 0 हैं। सिद्ध कीजिए कि {w1, w2}, रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
b) Let W1 and W2 be subspaces of a vector space V.
i) Prove that W1 ∩ W2 is a subspace of V.
सिद्ध कीजिए कि W1 ∩ W2, V का उपसमष्टि है।
ii) (Give an example to show that W1 ∪ W2 need not be a subspace of V.
यह दर्शाने के लिए एक उदाहरण दीजिए कि W1 ∪ W2 को V का उपसमष्टि होने की आवश्यकता नहीं है।
iii) Is W1 \ W2 a subspace of V?
क्या W1 \ W2, V का उपसमष्टि है?
5.
a) Find Eigen Value and Eigen vectors of 2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 .
के अभिलाक्षणिक मान तथा अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए।
2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1
b) Diagonalizable the matrix 3 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -1 \\ 1 & -1 & 3 .
मैट्रिक्स को विकर्णित कीजिए।
3 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -1 \\ 1 & -1 & 3
6.
a) Reduce the matrix 3 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & 4 & 5 to the normal form, hence find its rank.
मैट्रिक्स का सामान्य रूप ज्ञात कीजिए इसलिए इसकी रैंक ज्ञात करें।
3 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & 4 & 5
7.
a) Investigate for what values of λ and μ, the simultaneous equation
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + λz = μ
Have:
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + λz = μ
i) no solution
ii) a unique solution
iii) an infinite number of solutions
λ और μ के किन मानों के लिए समकालिक समीकरण जाँच करें।
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + λz = μ
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + λz = μ
i) कोई हल नहीं है
ii) एक अद्वितीय हल है
iii) अनंत संख्या में हल है
b) Find the Taylor series for the function x4 + x - 2 centered at a = 1.
a = 1 पर केन्द्रीय फलन x4 + x - 2 के लिए टेलर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
8.
a) Evaluate ∫0∞ ∫x∞ e-y⁄y dy dx.
∫0∞ ∫x∞ e-y⁄y dy dx मान ज्ञात कीजिए।
b) If xy yx z2 = C then show that ∂2z⁄∂x∂y = -(x log x)-1.
यदि xy yx z2 = C तो दर्शाइये कि ∂2z⁄∂x∂y = -(x log x)-1.