Introduction To Probability And Statistics

a) If X is a continuous random variable and K is a constant. Then prove that

Var(X + K) = Var(X) and Var(KX) = k²Var(X).

यदि X एक सतत यादृच्छिक चर है और K एक स्थिरांक है। फिर साबित करें कि Var(X + K) = Var(X) और Var(KX) = k²Var(X)

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b) State and Prove Chebyshev's inequality.

चेबीशेव की असमानता बताएं और सिद्ध करें।

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a) A random variable X is defined as the sum of the numbers on the faces when two dice are thrown. Find the mean of X.

एक यादृच्छिक चर X को दो पासे फेंकने पर चेहरे पर मौजूद संख्याओं के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। X का माध्य ज्ञात कीजिए।

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b) Explain Exponential and Gamma densities with properties.

घातीय और गामा घनत्व को गुणों सहित समझाइए।

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The probability density function of a random variable X is

f(x) = { sin x     for 0 ≤ x ≤ π 0         elsewhere

Find the mean, mode and median of a distribution and also find the probability between 0 and ^π/₂.

यादृच्छिक चर X का संभाव्यता घनत्व फलन

f(x) = { sin x     for 0 ≤ x ≤ π 0         elsewhere

है। किसी वितरण का माध्य, बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए और 0 और ^π/₂ के बीच की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए।

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a) Define Bivariate distribution and explain their properties.

द्विपद वितरण को परिभाषित करें और उनके गुणों की व्याख्या करें।

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b) If first box contains 2 black, 3 red, 1 white balls; Second box contains 1 black, 1 red, 2 white balls; Third box contains 5 black, 3 red, 4 white balls. Of these a box is selected at random. From it a red ball is randomly drawn. If the ball is red, find the probability that it is from second box.

यदि पहले डिब्बे में 2 काली, 3 लाल, 1 सफेद गेंदें हैं; दूसरे डिब्बे में 1 काली, 1 लाल, 2 सफेद गेंदें हैं; तीसरे डिब्बे में 5 काली, 3 लाल, 4 सफेद गेंदें हैं। इनमें से यादृच्छिक रूप से एक बक्सा चुना जाता है। इसमें से एक लाल गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। यदि गेंद लाल है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह दूसरे डिब्बे से है।

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a) The values of μ₁, μ₂, μ₃ and μ₄ are 0, 9.2, 3.6 and 1.22 respectively. Find out the Skewness and Kurtosis of the distribution.

μ₁, μ₂, μ₃ और μ₄ का मान क्रमशः 0, 9.2, 3.6 और 1.22 है। वितरण की विषमता और कुर्टोसिस का पता लगाएँ।

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b) The mean and standard deviation of a normal variable are 8 and 4 respectively.

Find : P(5 ≤ X ≤ 10) and P(X ≥ 5)

एक सामान्य चर का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 8 और 4 हैं।

P(5 ≤ X ≤ 10) और P(X ≥ 5) खोजें।

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a) Average number of accidents on any day on a national highway is 1.6. Determine the probability that the number of accidents are

i) at least one

ii) at most one

राष्ट्रीय राजमार्ग पर किसी भी दिन दुर्घटनाओं की औसत संख्या 1.6 है। संभावना निर्धारित ��रें कि दुर्घटनाओं की संख्या

i) कम से कम एक

ii) अधिकतम एक है

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b) Define correlation. Explain types of correlation and methods of studying correlation.

सहसंबंध को परिभाषित करें। सहसंबंध के प्रकार और सहसंबंध का अध्ययन करने की विधियाँ समझाएँ।

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a) Fit a Straight line for the following data.

निम्नलिखित डाटा के लिए एक सीधी रेखा फिट करें।

X	0	5	10	15	20	25
Y	12	15	17	22	24	30

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b) A sample of 400 items is taken from a population whose standard deviation is 10. The mean of the sample is 40. Test whether the sample has come from a population with mean 38. Also calculate 95% confidence interval for the population.

400 वस्तुओं का एक नमूना उस जनसंख्या से लिया जाता है जिसका ��ानक विचलन 10 है। नमूने का माध्य 40 है। परीक्षण करें कि क्या नमूना 38 माध्य वाली जनसंख्या से आया है। जनसंख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल की भी गणना करें।

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a) Define Chi-Square test of goodness of fit. Explain the conditions for Chi-Square test.

फिट की अच्छाई के Chi-Square परीक्षण को परिभाषित करें। Chi-Square परीक्षण की शर्तें समझाएँ।

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b) Calculate coefficient of correlation from the following data.

निम्नलिखित डाटा से सहसंबंध के गुणांक की गणना करें।

X	12	9	8	10	11	13	7
Y	14	8	6	9	11	12	3

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